Відразу зауважимо, що без знання як розв’язуються базові лінійні рівняння, а також, без знання як відбуваються дії з матрицями та знаходження оберненої матриці ви не зможете розв’язати матричне рівняння. Тому, обов’язково повторіть дані теми перед тим як почнете проходити даний урок.

Коли ми маємо декілька матриць відповідного розміру, при цьому, одна з матриць є не відомою («X»), наприклад «A∙X = C», «X∙A + B = C» та подібні, то такі рівняння називають матричними.

Методи розв’язування даних рівнянь надзвичайно схожі до методів розв’язування лінійних рівнянь. За виключенням запису дільників. Припустимо, ми маємо такі записи «2∙x = 6» та «x∙2 = 6». Їх розв’язування буде однаковим «x = /6/2» або «x = 6∙2^-1» (запис згідно з властивостями степеня). Тобто, не залежно від того з якого боку в нас знаходилася «2» вона все одно записувалася по праворуч від «6».

Пригадаємо, що в матрицях зазвичай «A∙B ≠ B∙A».

Тому, у матричних рівняннях записи «A∙X = B» та «X∙A = B» будуть мати різні розв’язки. В першому випадку це «X = A^-1∙B», а в другому «X = B∙A^-1». Тобто, запис в правій частині почав повторювати запис лівої частини, але з врахуванням, що матриця має стати оберненою.

Розглянемо рівняння «A∙X∙B + C = D». Розв’язувати його будемо так:

Перенесемо матрицю «C». При цьому, не забуваємо змінити знак на протилежний:

A∙X∙B = D - C

Перенесемо матриці «A» та «B» зберігаючи порядок, але використавши обернений запис. Зауважимо, що запис «D - C» вважатиметься як одне ціле:

X = A^-1∙(D - C)∙B^-1

Після чого, вам залишається лише розв’язати отримане рівняння.

Пригадаємо. Якщо, у рівнянні ви маєте звичайне число, то його необхідно помножити на одиничну матрицю «E».

Розглянемо такий приклад. Знайти матрицю «X» з рівняння «A·X + 2 = B», де:

A = (#)#2#2#1#3#-2#0; B = (#)#2#2#4#2#-1#2

Зауважимо, що ми маємо звичайне число («2»). В таких випадках пам’ятаємо, що потрібно використати одиничну матрицю.

Тому, матимемо такий запис:

AX + 2E = B

Далі, як у звичайному рівнянні, перенесемо числа в одну частину, а не відомі в іншу. При цьому, не забуваємо змінити знак на протилежний:

AX = B - 2E

Та візьмемо обернену матрицю зберігаючи порядок:

X = A^-1·(B - 2E)

Почнемо обчислення:

-2E => -2 ∙ (#)#2#2#1#0#0#1 => (#)#2#2#-2#0#0#-2

Виконаємо віднімання матриць «B - 2E»:

B - 2E => (#)#2#2#4#2#-1#2 + (#)#2#2#-2#0#0#-2 = (#)#2#2#4 - 2#2 + 0#-1 + 0#2 - 2 = (#)#2#2#2#2#-1#0

Для знаходження «A^-1» скористаємося формулою «A^-1 = /1/det ⁡A · (A_ij)^T». Тому, розпочнемо з пошуку визначника:

det⁡ A = |#|#2#2#1#3#-2#0 = 1∙0 - (-2)∙3 = 0 + 6 = 6

Та знайдемо матрицю алгебраїчних доповнень «A_ij»:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ |0| = 1∙0 = 0

A₁₂ = (-1)¹⁺² |-2| = -1∙(-2) = 2

A₂₁ = (-1)²⁺¹ |3| = -1∙3 = -3

A₂₂ = (-1)²⁺² |1| = 1∙1 = 1

Отримали матрицю алгебраїчних доповнень:

A_ij = (#)#2#2#0#2#-3#1

Транспонуємо її:

(A_ij)^T = (#)#2#2#0#-3#2#1

Тепер, підставивши у формулу, матимемо такі числа:

A^-1 = /1/6 (#)#2#2#0#-3#2#1

Отже, повернувшись до нашого рівняння матимемо:

X = /1/6 (#)#2#2#0#-3#2#1 ∙ (#)#2#2#2#2#-1#0

Виконаємо множення матриць:

(#)#2#2#0#-3#2#1 ∙ (#)#2#2#2#2#-1#0 = (#)#2#2#0∙2 - 3∙(-1)#0∙2 - 3∙0#2∙2 + 1∙(-1)#2∙2 + 1∙0 = (#)#2#2#3#0#3#4

Остаточним розв’язком матричного рівняння буде:

X = /1/6 (#)#2#2#3#0#3#4

При бажанні ви можете помножити число на кожен елемент матриці, але і такого запису цілком достатньо.