#x² + 7 + x² - 5#x² + 7 - x² - 5 = 3

В правій частині ми чітко можемо побавити вираз «#f₁(x) + f₂(x)#f₁(x) - f₂(x)». Де «f₁(x) = x² + 7» і «f₂(x) = x² - 5». Але, при цьому, права частина не має вигляду «#g₁(x) ± g₂(x)#g₁(x) ∓ g₂(x)» (адже, там просто «3»). Оскільки, ліва частина має в чисельнику знак «+», а в знаменнику «-», то в правій частині потрібно обрати такі ж самі знаки. Тобто, матимемо:

#g₁(x) + g₂(x)#g₁(x) - g₂(x) = 3

Під «3» ми можемо написати уявну «1» та отримаємо:

#g₁(x) + g₂(x)#g₁(x) - g₂(x) = /3/1

Залишилося підібрати відповідні вирази. Які в сумі даватимуть «3», а їх різниця буде «1». В загальному це можна розв’язати як систему:

{#g₁(x) + g₂(x) = 3#g₁(x) - g₂(x) = 1

Оскільки тут дуже легко побачити, що «g₁(x) = 2» і «g₂(x) = 1», то відповідно матимемо:

#g₁(x) + g₂(x)#g₁(x) - g₂(x) = /2 + 1/2 - 1

І, остаточно, в наше рівняння матиме наступний вигляд:

#x² + 7 + x² - 5#x² + 7 - x²-5 = /2 + 1/2 - 1

Скориставшись методом похідної пропорції будемо мати спрощене рівняння:

#x² + 7#x² - 5 = /2/1

Таким чином ми спростили вигляд початкового рівняння. Зараз можна скористатися правилами кореня та розв’язати ірраціональне рівняння.

#x² + 7#x² - 5 = /2/1

(#x² + 7#x² - 5)² = (/2/1)²

#x² + 7#x² - 5 = /4/1

Тепер, ми отримали дробово-раціональне рівняння. Розв’яжемо його скориставшись правилом пропорцій/метелика. При цьому не забуваємо, що знаменник в якому є «х» не може бути рівний нулеві:

4(x² - 5) = 1(x² + 7)

4x² - 20 = x² + 7

4x² - x² = 7 + 20

3x² = 27 | ∶ 3

x² = 9

x = ± 9

x = ± 3

Не забуваємо про знаменник:

x² - 5 ≠ 0

x² ≠ 5

x ≠ ± 5

Крім того, виконувати перевірку потрібно по початковому прикладу. Нагадую, що є два основні обмеження:

Знаменник не може бути рівний нулеві.

Під коренем парного степеня не може бути від’ємного числа.

Якщо ви виконаєте дані перевірки, то побачите, що обидва числа («± 3») проходять ці перевірки.

Отже, розв’язком нашого рівняння є числа «± 3».