Ми можемо виконувати всі алгебраїчні дії з комплексними числами в алгебраїчній формі («z = a + ib»). При цьому, вони майже ні як не відрізняються від дій до яких ви звикли у школі.

Додавання/віднімання комплексних чисел

При додаванні/відніманні комплексних чисел ми виконуємо дії з подібними числами. Дійсна частина з дійсною, а уявна з уявною.

Якщо у нас є два комплексні числа «z₁ = a₁ + ib₁» та «z₂ = a₂ + ib₂», то можна подати це у вигляді формули:

z₁ ± z₂ = (a₁ ± a₂) + i(b₁ ± b₂)

Розглянемо це все на прикладах. Візьмемо три комплексні числа «z₁ = 2 + 3i», «z₂ = 4 - i» та «z₃ = -3 - 2i». І обчислимо «z₁ + z₂», «z₁ - z₂» та «z₂ - z₃».

Виконаємо обчислення. Для зручності ми будемо використовувати дужки записуючи комплексні числа.

z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (4 - i)

Розкриваємо дужки враховуючи знаки та виконуємо дії з подібними числами.

(2 + 3i) + (4 - i) = 2 + 3i + 4 - i = 6 + 2i

Аналогічно виконуємо дії з іншими числами. Єдине не варто забувати, якщо перед дужками стоїть знак «-», то розкриваючи дужки потрібно поміняти знаки у чисел, що були в дужках, на протилежні.

z₁ - z₂ = (2 + 3i) - (4 - i) = 2 + 3i - 4 + i = -2 + 4i

z₂ - z₃ = (4 - i) - (-3 - 2i) = 4 - i + 3 + 2i = 7 + i

Множення комплексних чисел

При виконуванні множення ми будемо користуватися правилами множення многочлена на многочлен. Також, потрібно пам’ятати правило «i² = -1».

Пропоную в першу чергу розглянути правило множення із загальними комплексними числами, а після цього виконати множення вже на прикладах.

Візьмемо «z₁ = a₁ + ib₁» та «z₂ = a₂ + ib₂» і будемо мати:

z₁ ∙ z₂ = (a₁ + ib₁)(a₂ + ib₂) = a₁∙a₂ + a₁∙b₂i + a₂∙b₁i + b₁∙b₂∙i²

Враховуючи, що «i² = -1» матимемо:

a₁∙a₂ + a₁∙b₂i + a₂∙b₁i + b₁∙b₂∙i² = a₁∙a₂ + a₁∙b₂i + a₂∙b₁i - b₁∙b₂

Тому, остаточне спрощення виглядатиме так:

a₁∙a₂ + a₁∙b₂i + a₂∙b₁i - b₁∙b₂ = (a₁∙a₂ - b₁∙b₂) + (a₁∙b₂ + a₂∙b₁)i

Отже, формулу можна записати відштовхуючись від цих обчислень:

z₁∙z₂ = (a₁ + ib₁)(a₂ + ib₂) = (a₁∙a₂ - b₁∙b₂) + (a₁∙b₂ + a₂∙b₁)i

Візьмемо комплексні числа «z₁ = 2 + 3i» і «z₂ = 4 - i» та знайдемо їх добуток:

z₁∙z₂ = (2 + 3i)(4 - i) = 2∙4 - 2∙i + 3i∙4 - 3i∙i = 8 - 2i + 12i - 3i² = 8 + 10i - 3∙(-1) = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i

Як бачите, ми дійсно маємо множення многочленів до яких мали звикнути у школі.

При цьому, якщо ви маєте добуток комплексного числа (z = a ± bi) на його спряжене (z̅ = a ∓ bi) (Пам’ятаємо, що спряженим комплексним числом називають таке число, яке має протилежний знак уявної частини), то їх добуток можна обчислити за формулою:

z∙z̅ = a² + b²

Розберемося чому це так працює. Візьмемо комплексне число «z = a + bi» і спряжене до нього «z̅ = a - bi». Будемо мати:

z∙z̅ = (a + bi)(a - bi)

Запис «(a + bi)(a - bi)» це є формула скороченого множення «(a - b)(a + b) = a² - b²». Згідно з даною формулою будемо мати:

(a + bi)(a - bi) = a² - (bi)² = a² - b² · i²

А, як ми вже знаємо «i² = -1», то отримаємо:

a² - b² · i² = a² - b² ∙ (-1) = a² + b²

Отже, будемо мати:

z∙z̅ = a² + b²

Розглянемо на прикладі «z = -3 - 2i». Відразу знайдемо спряжене комплексне число «z̅ = -3 + 2i». Скористаємося правилом, яке описали раніше:

z∙z̅ = (-3 - 2i)(-3 + 2i) = (-3)² + (-2)² = 9 + 4 = 13

Ділення комплексних чисел

При діленні комплексних чисел потрібно чисельник та знаменник помножити на спряжене комплексне число до знаменника. Візьмемо «z₁ = a₁ + ib₁» та «z₂ = a₂ + ib₂» і будемо мати:

#z₁#z₂ = #z₁ ∙ z₂#z₂ ∙ z₂

Звісно, що залишається виконати множення, яке ми розглядали раніше.

Візьмемо комплексні числа «z₁ = 2 + 3i» і «z₂ = 4 - i» та знайдемо частку «#z₂#z₁».

В першу чергу знайдемо спряжене до знаменника. Будемо мати: «z₁ = 2 - 3i».

#z₂#z₁ = #z₂ ∙ z₁#z₁ ∙ z₁ = #(4 - i)(2 - 3i)#(2 + 3i)(2 - 3i)

Виконуємо множення згідно з попередніми правилами:

#(4 - i)(2 - 3i)#(2 + 3i)(2 - 3i) = #8 - 12i - 2i - 3#2² + 3² = #5 - 14i#13

Властивості комплексних чисел

Ми можемо виділити наступні властивості комплексних чисел:

z₁ + z₂ = z₁ + z₂

z₁ ∙ z₂ = z₁ ∙ z₂

#z₁#z₂ = #z₁#z₂ ; (z₂ ≠ 0)