Для розуміння того, як виконувати завдання з похідної функції вам обов’язково необхідно знати та розуміти формули похідної. Часто доводиться працювати зі степенем та коренем. Тому, обов’язково повторіть їх правила перетворення.

1. Знайдіть похідну функції «y = x⁴».

Зауважимо, що ми маємо один єдиний одночлен «x⁴». Відповідно, потрібно обчислити похідну від нього. А для цього потрібно обрати необхідну формулу. Якщо звернути увагу на сам вираз, то ми побачимо, що в нас є «x» у «4» степені. Тобто, це відповідає формулі «xⁿ». Отже, скористаємося правилом «y' = (xⁿ)' = n ∙ x^{n - 1}». Отже, будемо мати:

(x⁴)' = 4 ∙ x^{4 - 1} = 4 ∙ x³ = 4x³

Враховуючи, що жодних дій ми більше виконати не можемо, то завдання вважається виконаним.

2. Знайдіть похідну функції «f(x) = 3x - 2».

Зверніть увагу, що ми маємо багаточлен (декілька виразів, які додаються/віднімаються). Тому, коли ми почнемо обчислювати похідну від даної функції, потрібно скористатися правилом «(f ± g)' = f' ± g'». Тобто, нам необхідно обчислити похідну від кожного виразу окремо. Матимемо:

(3x - 2)' = (3x)' - 2'

Перший наш вираз «3x». У даному випадку ми маємо число, яке множиться на функцію, тобто «k ∙ f(x)», то варто пригадати відповідне правило «(k ∙ f(x))' = k ∙ f'(x)». Пам’ятайте, похідна від такого виразу (число множиться на вираз з «x») діє за правилом «число залишається, а похідна обчислюється від функції». Отримаємо:

(3x)' = 3 ∙ x'

Залишається обчислити похідну від «x'». Згідно таблиці похідних ми будемо мати:

x' = 1

Тому, маємо такий результат:

3 ∙ x' = 3 ∙ 1 = 3

Залишається обчислити похідну від «2'». Зауважте, що тут є лише число. Тому, похідна береться від константи. Отже, скористаємося правилом «C' = 0, C-const». Матимемо:

2' = 0

Об’єднаємо наші похідні в єдиний вираз:

(3x - 2)' = (3x)' - 2' = 3 - 0 = 3

3. Знайдіть похідну функції «f(x) = #10#x⁵ - #x#2».

Знову ж таки ми маємо похідну від багаточлену. Обчислимо похідну від кожного виразу окремо.

(#10#x⁵ - #x#2)' = (#10#x⁵)' - (#x#2)'

Перший вираз «#10#x⁵» має «x» у знаменнику. При цьому в чисельнику є лише число. Тому, можна забрати «x» зі знаменника за правилом степеня «#1#xⁿ = x^-n». Це дозволить з дробу перейти у множення числа на функцію.

#10#x⁵ = 10 ∙ x^{- 5} = 10x^{- 5}

Ми отримали випадок множення числа на функцію «(k ∙ f(x))' = k ∙ f'(x)». Пам’ятаємо, що число залишається без змін, а похідну беремо від функції (виразу з «x»).

(#10#x⁵)' = (10x^{- 5})' = 10 ∙ (x^{- 5})'

Оскільки функцією виступає «x^{- 5}», то можна скористатися формулою «(xⁿ)' = nx^{n - 1}» (пам’ятайте, що це «x» в степені «-5», а не навпаки!). Матимемо:

10 ∙ (x^{- 5})' = 10 ∙ (-5 ∙ x^{-5 - 1}) = -50x^{- 6}

Від’ємний степінь зазвичай не залишають, тому ми скористаємося властивістю степеня «x^-n = #1#xⁿ» і отримаємо:

-50x^{- 6} = -50 ∙ #1#x⁶ = -#50#x⁶

Другий вираз («#x#2») має «x» під коренем і в чисельнику. Для візуального ефекту ми можемо знести «x» з чисельника в бік як множник:

#x#2 = #1#2 x

В загальному є формула для обчислення похідної від кореня (n/x)' = #1#n ∙ n#x^{n - 1}», але рекомендую перетворювати корінь у вираз зі степенем. Бо, в такому випадку ви навчитеся працювати при будь-якому корені. Для даних дій нам варто перетворити корінь у степінь за властивістю «m#xⁿ = x^n_m». За потреби повторіть властивості кореня. Матимемо:

x = x ^1₂

Враховуючи перетворення маємо:

(#x#2)' = (#1#2 ∙ x ^1₂)'

Обчислимо похідну від цього виразу. Відразу помітно, що у нас є число («#1#2»), яке множиться на функцію (вираз з «x»). Пам’ятаємо, що в таких випадках число залишається без змін, а похідна береться від функції («x ^1₂») згідно правила «(k ∙ f(x))' = k ∙ f'(x)». Враховуючи, що ми маємо «x» у степені, то скористаємося формулою «(xⁿ)' = n ∙ x^{n - 1}». Після обчислення отримаємо:

(#1#2 ∙ x ^1₂)' = #1#2 ∙ (x ^1₂)' = #1#2 ∙ #1#2 ∙ x ^{1₂ - 1} = #1#4 ∙ x^{- 1₂}

Врахуємо, що результат у нас вийшов з від’ємним степенем та степінь у вигляді дробу. Такий запис є не коректним, тому виконаємо перетворення. Позбудимося від’ємного степеня за формулою «x^{- n} = #1#xⁿ»:

#1#4 ∙ x^{- 1₂} = #1#4 ∙ #1#x ^1₂

А дробовий степінь перетворимо згідно правила «x^n_m = m#xⁿ»:

#1#4 ∙ #1#x ^1₂ = #1#4 ∙ #1#x = #1#4x

Залишається записати наші обчислення разом:

(#10#x⁵ - #x#2)' = (#10#x⁵)' - (#x#2)' = -#50#x⁶ - #1#4x

4. Обчислити похідну функції «y = sin⁡ x - 3cos⁡ x + 5» у точці «x =#3π#4».

Нам необхідно обчислити похідну функції у точці. Тому, в першу чергу потрібно обчислити похідну функції, а лише після цього виконати підстановку значення.

Знайдемо похідну від кожного доданку:

(sin ⁡x - 3cos⁡ x + 5)' = (sin ⁡x)' - (3cos ⁡x)' + 5'

Похідна від «sin⁡x» є табличною. Матимемо:

(sin ⁡x)' = cos ⁡x

Вираз «3cos ⁡x» має множення числа на функцію. Отже, буде обчислюватися за правилом «(k ∙ f(x))' = k ∙ f'(x)». Отримаємо:

(3cos ⁡x)' = 3 ∙ (cos ⁡x)' = 3 ∙ (- sin ⁡x) = - 3sin ⁡x

Залишається обчислити похідну від «5». Оскільки це число (константа), то похідна від нього буде нулем. За формулою «C' = 0, C-const». В результаті отримаємо:

5' = 0

Напишемо всі вирази разом:

(sin⁡ x)' - (3cos ⁡x)' + 5' = cos ⁡x - (- 3sin ⁡x) + 0 = cos ⁡x + 3sin ⁡x

Оскільки ми вже обчислили похідну, то залишається підставити значення «/3π/4» замість «x». Таким чином ми обчислимо похідну в точці. Матимемо:

cos⁡ x + 3sin ⁡x = ⁡cos/3π/4 + 3sin/3π/4⁡ = -#2#2 + 3 ∙ #2#2 = #-2 + 32#2 = #22#2

5. Обчисліть похідну функції «f(x) = 2^x + 5ln ⁡x - e^x».

Обчислимо похідну від кожного доданку окремо:

(2^x + 5ln ⁡x - e^x)' = (2^x)' + (5ln ⁡x)' - (e^x)'

Перший доданок «2^x» це число в степені з «x». Згідно таблиці ми матимемо формулу «(a^x)' = a^x ∙ln ⁡a». Отже:

(2^x)' = 2^x ∙ ln ⁡2

Другий доданок «5ln ⁡x» має число, що множиться на функцію. Пам’ятаємо, що в таких випадках число залишається, а похідну обчислюємо лише від функції.

(5ln ⁡x)' = 5 ∙ (ln ⁡x)'

Похідна від «ln ⁡x» обчислюється за правилом «(ln ⁡x)' = #1#x». Вона є частковим випадком «(log_a ⁡x)' = #1#x · ln ⁡a)». Якщо ви навчаєтеся у 10 класі, то з цим ще не працювали, бо ці функції вивчаються в наступних класах. Отже, згідно формули отримаємо:

5 ∙ (ln ⁡x)' = 5 ∙ #1#x = #5#x

Третій доданок «e^x» хоча й не має жодної цифри, але все одно відноситься до функції «число в степені «x»», бо «e» є числом Ейлера («e ≈ 2,71828…»). Тому, похідну від даного виразу ми можемо обчислити згідно правила «(a^x)' = a^x ∙ ln ⁡a». Або просто сказати, що це є частковим випадком, який має формулу «(e^x)' = e^x». Матимемо:

(e^x)' = e^x

Напишемо наші результати разом:

(2^x)' + (5ln ⁡x)' - (e^x)' = 2^x ∙ ln ⁡2 + #5#x - e^x

6. Обчисліть похідну функції «f(x) = #2x#x²» в точці «x₀ = 4».

Якщо поглянути на даний вираз, то ми маємо частку (ділення) функцій. Але, виконавши перетворення кореня до степеня «x = x1/2» ми отримаємо:

#2x#x² = #2x1/2#x²

А це вже є діленням однакових виразів («x») і згідно властивості степеня «#aⁿ#a^m = a^{n - m}» ми матимемо:

#2x1/2#x² = 2x1/2^{- 2} = 2x^-3/2

Якщо у вас є множення або ділення функцій, то ви можете перевірити, чи вдасться їх перетворити до спрощеного вигляду. Зазвичай це можливо, якщо ви маєте змінні («x») у степені, корені, дробові або якщо це множення/ділення тригонометричних функцій.

Позбудемося від від’ємного степеня за властивістю «a^-n = #1#aⁿ».

2x^-3/2 = #2#x3/2

Скористаємося переведенням дробового степеня в корінь «an/m = m#aⁿ = (m#a)ⁿ». Отримаємо:

#2#x3/2 = #2#(x)³

Залишається підставити значення в точці «x₀ = 4»:

#2#(x)³ = #2#(4)³ = #2#2³ = /2/8 = #1#4 = 0,25

7. Знайдіть похідну добутку «y = x³ ∙ cos ⁡x».

Зверніть увагу, що тут ми маємо множення декількох функцій. Перша - «x³», друга - «cos ⁡x». Оскільки це множення (добуток) функцій від якого ми шукаємо похідну, то можна скористатися відповідним правилом «(f ∙ g)' = f'∙g + g'∙f». Отже, потрібно взяти похідну від кожної функції у добутку записавши їх за допомогою суми отриманих результатів. Якщо буде ще третій множник, то будемо писати й третій доданок. В нашому випадку отримаємо:

(x³ ∙ cos ⁡x)' = (x³)' ∙ cos⁡ x + (cos ⁡x)' ∙ x³

Обчислимо кожну похідну окремо:

(x³)' = 3 ∙ x^{3 - 1} = 3x²

(cos⁡ x)' = - sin ⁡x

Врахувавши похідні матимемо:

(x³)' ∙ cos⁡ x + (cos ⁡x)' ∙ x³ = 3x² ∙ cos ⁡x - sin ⁡x ∙ x³ = 3x² ∙ cos⁡ x - x³ ∙ sin⁡ x

Оскільки виконати додавання/віднімання ми не можемо, то обчислення вважаються завершеними. Максимум, що ми можемо ще зробити, - це винести «x²» як спільний множник.

8. Знайдіть значення похідної «f(x) = x ∙ ln ⁡x» у точці «x₀ = e».

Пам’ятаємо, якщо потрібно обчислити значення похідної в точці, то в першу чергу потрібно обчислити похідну функції. Ми маємо добуток функцій, тому скористаємося правилом похідної для добутку «(f ∙ g)' = f' ∙ g + g' ∙ f». Матимемо:

(x ∙ ln ⁡x)' = x' ∙ ln ⁡x + (ln ⁡x)' ∙ x

Обчислимо похідну від кожної функції («ln⁡ x» зустрічається в 11 класі. Це логарифм натуральний. Похідна «(ln⁡ x)' = #1#x» є частковим випадком «(log_a b)' = #1#x ∙ ln ⁡a»):

x' = 1

ln⁡ x = #1#x

Підставивши ці значення у похідну отримаємо:

x' ∙ ln ⁡x + (ln ⁡x)' ∙ x = 1 ∙ ln ⁡x + #1#x ∙ x = ln ⁡x + 1

Обчисливши похідну нам залишається знайти значення в точці «x₀». Тобто, в результат похідної замість «x» підставити «e». Матимемо:

f'(x₀) = ln ⁡e + 1 = 1 + 1 = 2

9. Знайдіть похідну частки «f(x) = #2x + 1#x² + 3».

Ми маємо частку (ділення) функцій. При цьому ми не можемо виконати їх спрощення. Тому, скористаємося правилом похідної для частки функцій «(/f/g)' = #f'∙g - g'∙f#g²». Згідно формули:

(#2x + 1#x² + 3)' = #(2x + 1)' ∙ (x² + 3) - (x² + 3)' ∙ (2x + 1)#(x² + 3)²

Обчислимо похідну від кожного виразу:

(2x + 1)' = (2x)' + 1' = 2 ∙ (x)' + 1' = 2 ∙ 1 + 0 = 2

(x² + 3)' = (x²)' + 3' = 2x + 0 = 2x

Підставимо отримані значення.

#(2x + 1)' ∙ (x² + 3) - (x² + 3)' ∙ (2x + 1)#(x² + 3)² = #2 ∙ (x² + 3) - 2x ∙ (2x + 1)#(x² + 3)²

Ми можемо виконати спрощення. Розкриємо дужки.

#2 ∙ (x² + 3) - 2x ∙ (2x + 1)#(x² + 3)² = #2x² + 6 - 4x² - 2x#(x² + 3)² = #-2x² - 2x + 6#(x² + 3)²

При сильному бажанні ми можемо в чисельнику винести «-2» за дужки. Але, оскільки це ніяк не допоможе спростити наш вираз, то залишимо як є.

10. Знайдіть похідну частки «f(x) = #sin⁡ x#1 + cos ⁡x».

Враховуючи, що ми не можемо виконати тут спрощення, то змушені обчислювати похідну за правилом частки «(#f#g)' = #f' ∙ g - g' ∙ f#g²». Матимемо:

(#sin⁡ x#1 + cos ⁡x)' = #(sin ⁡x)' ∙ (1 + cos ⁡x) - (1 + cos ⁡x)' ∙ sin ⁡x#(1 + cos⁡ x)²

Для зручності обчислимо кожну похідну окремо:

(sin ⁡x)' = cos ⁡x

(1 + cos ⁡x)' = 1' + (cos ⁡x)' = 0 - sin ⁡x = -sin ⁡x

Підставимо отримані результати у наш вираз:

#(sin⁡ x)' ∙ (1 + cos ⁡x) - (1 + cos ⁡x)' ∙ sin ⁡x#(1 + cos ⁡x)² = #cos⁡ x ∙(1 + cos ⁡x) - (- sin ⁡x) ∙ sin ⁡x#(1 + cos ⁡x)²

Розкриємо дужки та виконаємо спрощення:

#cos ⁡x ∙ (1 + cos ⁡x) - (- sin ⁡x) ∙ sin⁡ x#(1 + cos ⁡x)² =#cos⁡ x + cos² x + sin² ⁡x#(1 + cos ⁡x)²

Згідно формул тригонометрії «cos² x + sin² ⁡x = 1»:

#cos ⁡x + cos² ⁡x + sin² ⁡x#(1 + cos ⁡x)² = #cos ⁡x + 1#(1 + cos ⁡x)²

У чисельнику та знаменнику маємо однакові вирази «cos ⁡x + 1» (пам’ятаємо, що від перестановки доданків сума не змінюється і вираз «1 + cos⁡ x» це теж саме). Тому, можемо скоротити їх на даний вираз. Матимемо:

#cos⁡ x + 1#(1 + cos⁡ x)² = #1#1 + cos ⁡x

Більше ми не можемо виконати ніяких дій, тому обчислення завершене.

11. Знайдіть похідну функції «f(x) = (3x² - 5sin⁡ x)⁴».

Погляньте уважно на цю функцію. Зверніть увагу, що ми маємо вираз «3x² - 5sin ⁡x» який додатково піднімається до степеня. Тобто, ми маємо складену функцію.

Пам’ятаємо, що можна йти із зовні. Тобто, ми маємо «4» степінь. Але замість звичайного «x» в нас є вираз «3x² - 5sin ⁡x». Тому, це складена функція, бо у формулі «xⁿ» ми маємо не чистий «x».

Пригадаємо формулу складеної функції:

[f(g(x))]' = f'(g(x)) ∙ g'(x)

Зовнішньою функцією в нас є степінь. Тому, для зручності обчислення похідної ми використаємо заміну змінної. І будемо вважати, що «f(g(x)) = t⁴», де «t = 3x² - 5sin ⁡x».

Внутрішньою ж функцією буде «g(x) = 3x² - 5sin ⁡x».

Отже, похідну ми можемо обчислити таким чином:

[(3x² - 5sin ⁡x)⁴]' = (t⁴)' ∙ (3x² - 5sin ⁡x)'

Обчислимо кожну похідну окремо:

(t⁴)' = 4t³

Враховуючи, що «t = 3x² - 5sin⁡ x», то повернувшись до заміни матимемо:

4t³ => 4(3x² - 5sin ⁡x)³

Похідна від другого виразу:

(3x² - 5sin ⁡x)' = (3x²)' - (5sin ⁡x)' = 3 ∙ 2 ∙ x^{2 - 1} - 5cos ⁡x = 6x - 5cos ⁡x

Повернемося до нашого прикладу:

(t⁴)' ∙ (3x² - 5sin ⁡x)' => 4(3x² - 5sin ⁡x)³ ∙ (6x - 5cos ⁡x)

За потреби ви можете розкрити дужки, але оскільки це не дасть ніякого спрощення, то ми залишимо його так.

12. Обчисліть похідну функції «f(x)= x³ + 2x - 5» в точці «x₀ = 3».

Поглянемо на наш вираз. Зверніть увагу, що ми маємо корінь. Якщо поглянути на формули похідних, то можна побачити наступну «(x)' = #1#2x)». Але, ми маємо не чистий «x», а це означає, що ми маємо складену функцію.

Зовнішньою функцією є корінь. Відповідно, будемо вважати, що «f(g(x)) = t», де «t = x³ + 2x - 5».

Внутрішньою функцією є «g(x) = x³ + 2x - 5».

Отже, похідну ми зможемо подати у вигляді:

(x³ + 2x - 5)' = (t)' ∙ (x³ + 2x - 5)'

Обчислимо похідну від кожного виразу окремо:

(t)' = #1#2t

Повертаючись до старої змінної матимемо:

#1#2t => #1#2x³ + 2x - 5

Візьмемо похідну від другого виразу:

(x³ + 2x - 5)' = 3x² + 2

Запишемо, враховуючи похідні:

(x³ + 2x - 5)' = #1#2x³ + 2x - 5 ∙ (3x² + 2) = #3x² + 2#2x³ + 2x - 5

Маючи похідну нам залишається обчислити її значення в точці «x₀ = 3». Матимемо:

#3x² + 2#2x³ + 2x - 5 => #3 ∙ 3² + 2#2 ∙ 3³ + 2 ∙ 3 - 5 = #29#228 = #29#2 ∙ 27 = #29 ∙ 7#4 ∙ 7 = #29 ∙ 7#28

Обчисліть похідну функції «y = cos³ 2x».

Думаю, ви відразу зауважили, що ми маємо складену функцію. Можливо з першого погляду не помітно, але зовнішньою функцією є степінь. Це помітно, якщо трішки по-іншому записати наш вираз:

cos³ 2x => (cos 2x)³

Обчислимо похідну функції. Вважатимемо зовнішньою функцією «f(g(x)) = t³», де «t = cos ⁡2x», а внутрішньою функцією - «g(x) = cos ⁡2x». Матимемо:

[(cos⁡ 2x)³]' = (t³)' ∙ (cos ⁡2x)'

Обчислимо кожну похідну окремо:

(t³)' = 3t²

Повертаючись до початкової змінної:

3t² => 3(cos⁡ 2x)² = 3cos² ⁡2x

Розглянемо другий вираз «cos⁡ 2x». У нас є косинус, похідна від якого є в готових формулах. Але, ми маємо не чистий «x». А, це означає, що функція є складеною. Візьмемо похідну від другого виразу врахувавши, що зовнішньою функцією є «f(g(x)) = cos ⁡t», де «t = 2x». А, внутрішня функція «g(x) = 2x».

(cos⁡ 2x)' = (cos⁡ t)' ∙ (2x)' = - sin⁡ t ∙ 2 = - 2sin⁡t => -2sin ⁡2x

Напишемо остаточний результат:

[(cos⁡ 2x)³]' = (t³)' ∙ (cos⁡ 2x)' => 3cos² 2x ∙ (-2sin 2x) = -6sin 2x ∙ cos² 2x